微分几何在机器人领域的应用二深入理解三维空间变换

空间几何变换

空间中的几何变换分为多类，从简单，到逐渐复杂的变换，分别有如下几种：

1. 等距变换（Isometries）。等距变换下点到点的欧式距离保持不变。刚体变换是典型的等距变换。

2. 相似变换（Similarity）。在等距变换的基础上加上一个各向同性的缩放。矩阵表示上需要在旋转矩阵部分乘以一个非零系数s。

3. 仿射变换（Affine）。是一个非奇异的线性变换加上一个平移向量组成的变换。

4. 投影变换（Projective）。任意非奇异的4×4矩阵所构成的变换。

变换的分类和特征如下图所示。

三维刚体的空间变换属于种情况。如果物体不变形，那么刚体变换涵盖物理世界中的所有情况。刚体变换包含三个平移自由度和三个旋转自由度，总共6个自由度。应用刚体变换，点到点的距离保持不变，同时矢量的点积和叉积保持不变。平移自由度易于理解，故本文重点讨论旋转分量，即旋转矩阵R。

旋转矩阵

在理解高维理论时，我们一般采用降维的方式理解，由易到难。首先回到二维空间的变换。二维平面中，刚体变换有三个自由度，x, y 和旋转角θ。用矩阵的形式表示：

其中

分别为旋转矩阵和平移向量。可以看到旋转矩阵只有一个自由度，因其只有一个变量θ。

旋转矩阵R的性质：

1. 旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵，故旋转矩阵是正交矩阵。（如果不理解逆矩阵和转置矩阵，请首先恶补线性代数）。

2. 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵，且它的行列式是1。正交矩阵的行列式是±1。读者可思考行列式为-1的情况对应什么变换。

二维旋转矩阵可用旋转角唯yi表示。正角表示逆时针旋转。

如下图表示的是当θ=20°的情况。

二位旋转矩阵的许多性质在三维空间中同样满足。

让我们回到三维空间。旋转可以有三个旋转组合而成。在右手（笛卡尔）坐标系下分别绕x，y， z轴旋转。其旋转矩阵分别对应为

任意旋转矩阵可写作一定角度下的三个矩阵的乘积。

注意：矩阵乘法不符合交换律！故顺序不同，得到的旋转矩阵并不相同。

欧拉角

航空领域，一般定义飞机前后轴为x轴，沿x轴旋转的角度一般称为Roll，中文称作翻滚角；两翼方向称作Pitch，中文称作俯仰角；垂直地面的方向是航向角（Yaw），如下图所示。作者觉得中文翻译很符合愿意，更易于理解。可以记住在驾驶飞机时，如何操纵翻滚角，俯仰角，航向角。Roll，Pitch，Yaw，又称作欧拉角。习惯上，三个欧拉角的方向是z-y-x，使用时需要特别重要，欧拉角顺序错了，旋转矩阵也会发生变化。

程序实现：
程序使用基于C++的Eigen库[3]。注意，Eigen库是一个仅包含头文件的基础矩阵库，没有静态或动态库。使用时仅需要把相关的目录include就可以了。

再次注意：三个欧拉角的顺序！

李群和李代数

三维旋转矩阵是直观的表示方法，但旋转矩阵有9个变量，只有3个自由度，故信息是冗余的。旋转矩阵在工程使用更好的表达方法。根据定义，所有的刚体变换属于一个群（李qun，Lie Group）。刚体变换又称作特殊欧式变换（special Euclidean transformation），通常写作SE（3）。李群中的变换满足如下特性。详细性质可参见李群和李代数的资料。如果只限于3D视觉或机器人学，只需记住其主要特性：

?封闭性
?相关性
?单位矩阵
?可逆

刚体变换的组合和逆变换均属于刚体变换。
单纯的旋转变换称作特殊正角变换（special orthogonal transformation)，通常写作SO（3）。旋转矩阵都是正交矩阵。
李代数通过指数映射，将旋转矩阵的9个变量转换为3个变量，结合三个平移向量，总共6个变量，对应6个自由度。李代数表示法在三维重建（SFM）、VR、SLAM等位姿估计领域应用的较多。李代数有基于Eigen的Sophus库[4]可使用，方便完成指数映射。

罗德里格斯旋转公式

（Rodriguez’s Rotation Formula）

旋转矩阵有一个更有效的表达方法，即由一个单位向量和一个旋转角生成。每一个旋转矩阵均可转化为向量和角（又称轴-角）的表达方式。根据公式，单位向量用表示，旋转的角度是θ，那么相应的旋转矩阵是：